PET (Prime Exponent Tree) è un modello strutturale per rappresentare la fattorizzazione degli interi come alberi ricorsivi basati sugli esponenti primi.

L'idea centrale è separare due aspetti degli interi:

• il valore numerico
• la struttura moltiplicativa

Questo permette di studiare la geometria strutturale della fattorizzazione degli interi.

12 = 2² × 3

PET(12):

•
├─2
│  •
│  └─2
└─3

Installazione locale:

pip install -e .

Esempi:

pet encode 72
pet metrics 256

Generare un dataset:

pet scan 2 1000000 --jsonl artifacts/pet_1M.jsonl

La fattorizzazione prima descrive gli interi come prodotti di primi:

N = ∏ p_i^{e_i}

Nel modello PET:

• ogni fattore primo genera un nodo
• gli esponenti vengono rappresentati ricorsivamente come alberi PET

Questo produce una rappresentazione:

• canonica
• invertibile
• lossless

Analizzando tutti gli interi fino a 10^6 emergono proprietà sorprendentemente semplici.

• interi analizzati: 999.999
• shape distinte: 78

Lo spazio delle strutture moltiplicative risulta fortemente compresso.

Le shape più frequenti osservate sono:

• p
• pq
• pqr
• pqrs
• p²q
• p²qr
• p²qrs

Le 7 shape più comuni coprono circa l'87% degli interi.

Distribuzione osservata:

height percentuale

1 60.79% 2 34.80% 3 4.41% ≥4 ~0%

Quindi:

95.6% degli interi hanno profondità ≤ 2.

ω(n) = numero di fattori primi distinti.

ω(n) percentuale

1 7.87% 2 28.87% 3 37.97% 4 20.80% 5 4.25% ≥6 <1%

Il picco si trova a:

ω(n) = 3

coerente con il teorema di Hardy--Ramanujan.

Definiamo:

H = - Σ pᵢ log(pᵢ)

Per N ≤ 10⁶:

H ≈ 2.35

Numero effettivo di shape:

exp(H) ≈ 10.5

Interpretazione:

gli interi si comportano come se esistessero circa 10 strutture dominanti.

Misurazioni empiriche:

N H(N)

10⁴ 2.18 10⁵ 2.28 10⁶ 2.35

Suggerendo la relazione:

H(N) ~ log log N

Numero di shape:

N shape

10³ ~29 10⁴ ~63 10⁵ ~123 10⁶ ~230 (stimato)

Ipotesi empirica:

S(N) ≈ (log N)²

I fenomeni osservati sono compatibili con risultati noti della teoria dei numeri probabilistica:

• Hardy--Ramanujan theorem
• Erdős--Kac theorem
• Kubilius probabilistic model

Il modello PET fornisce una rappresentazione strutturale esplicita di questi fenomeni.

Generare dataset:

pet scan 2 1000000 --jsonl artifacts/pet_1M.jsonl

Analisi:

python tools/shape_entropy.py artifacts/pet_1M.jsonl
python tools/height_distribution.py artifacts/pet_1M.jsonl
python tools/omega_distribution.py artifacts/pet_1M.jsonl

src/pet
    core.py           # rappresentazione PET
    metrics.py        # metriche strutturali
    algebra.py        # operazioni sugli alberi
    scan.py           # generazione dataset
    atlas.py          # catalogo shape
    cli.py            # interfaccia CLI

docs/paper/pet_paper.tex

Il paper descrive:

• definizione formale del modello PET
• metriche strutturali
• analisi empirica fino a 10^6
• implicazioni per la teoria dei numeri probabilistica.

MIT