L. Mutesa et at., A strategy for finding people infected with SARS-CoV-2: optimizing pooled testing at low prevalence, https://doi.org/10.1101/2020.05.02.20087924, 2020-08-03.

To test samples from n individuals, at a low prevalence p, in the shortest possible time without extra test equipment.

1. Group testing phase

   Divide the n samples into g groups of size N, with N chosen as the power of 3 (value for which the number of tests per person is minimum) closest to ^0.35⁄_p. Test each group: perform g tests, each with a pool of N subsamples.

   A new estimate of the prevalence can be made once the fraction f of groups that tested negative is known: p = 1 − f^1/N. If the new estimate differs significantly from the original one, another value for N may then be chosen for the next phase.

2. Slicing tests phase - First round

   Perform a first round of slicing tests on the groups that tested positive in the first phase.

   For each group of N individuals, take D subsamples from each individual sample, and pool (or combine) ^N⁄_L subsamples for each of T = D * L tests. Assign individuals to tests in a way that allows associating an individual with a certain set of tests.

   To associate an individual with a certain set of tests, a D-tuple of digits is assigned to each individual, each digit taking a value from a number L of values. Each D-tuple corresponds to the coordinate of a point in a hypercube of D dimensions, with L points on each side. Each test corresponds to a slice of the hypercube, composed of those individuals that have the same coordinate in a given direction.

   The D-tuple that identifies an individual may be also treated as a D-digit number in a base-L numeral system. Each of the L values of each of the D digits corresponds to a test; from this it follows that D * L is the number of tests to perform for the N individuals.

   Now, a simple example, using L = 10 (not the optimum value). Assume there are N = 100 individuals to test, because it is estimated that p = 0.0035. We number the individuals from 0 to 99. D = 2, because 10² = 100. We then have to perform D * L = 2 * 10 = 20 tests, each with ^N⁄_L = ¹⁰⁰⁄₁₀ = 10 subsamples. We assign each test to a digit: one test corresponds to 0 in ones place, another test to 0 in tens place, etc. For the test that corresponds to 0 in ones place, we pool the 10 subsamples from those individuals identified with numbers ending in 0, i.e. 0, 10, 20,…, 90. For the test that corresponds to 3 in tens place, we pool the 10 subsamples from those individuals identified with numbers having a 3 in tens place: 30, 31,…, 39. And similarly for the other eighteen tests. If an individual is infected, the positive tests will be those corresponding to the identification number; for example, if only the tests that correspond to 5 in ones place and 1 in tens place are positive, we know that the individual with number 15 (and only him or her) is infected. All 20 tests can be performed simultaneously. We save the cost of 80 tests. By using L = 3 —the optimum value— the savings are greater still: only 15 tests are needed to identify the infected individual.

3. Slicing tests phase - Steps to take after the first round

   If there is only one positive slice in each direction, there is only one infected individual, that is immediately identified.

   If there is only one direction in which several slices are positive, all infected individuals are immediately identified.

   If there are several directions in which several slices are positive, those individuals identified with slices that tested positive are included in a second round of slicing tests. In the example above, if the positive tests correspond to 2 and 7 in ones place and 4, 6 and 9 in tens place —a very low probability case given the estimated prevalence— between three and six individuals are infected among those identified with numbers 42, 47, 62, 67, 92 and 97.

This page was written to help prepare slicing tests and interpret their results, numbering both tests and individuals with positive integers in the decimal system.

The user can enter, below, either the value of p, letting the system determine the optimum values for N, D and L, or the value of one (or two) of these variables, obtaining the other(s).

The Preparation tabs show, for the values entered, which subsamples are to be combined for a given test, and which tests must contain a subsample from a given individual.

The Results tab shows, given the results from the tests, which individuals are infected (if any) or which individuals should be included in an additional round of testing.

L. Mutesa et at., A strategy for finding people infected with SARS-CoV-2: optimizing pooled testing at low prevalence, https://doi.org/10.1101/2020.05.02.20087924, 2020-08-03.

Analizar muestras de n individuos, cuando la prevalencia p es baja, en el menor tiempo posible sin recurrir a instrumentos de diagnóstico adicionales.

1. Fase de análisis por grupos

   Dividir las n muestras en g grupos de N muestras cada uno, con N igual a la potencia de 3 (valor de L que minimiza la cantidad de análisis por individuo) más cercana a ^0.35⁄_p. Hacer un análisis por cada grupo, es decir g análisis con N submuestras mezcladas en cada uno.

   Se puede además, ya que se conoce la fracción f de grupos negativos, mejorar la estimación de la prevalencia: p = 1 − f^1/N. Si el valor de p así estimado es muy distinto de la estimación inicial, se puede elegir otro valor de N para la siguiente fase.

2. Fase de análisis por tajadas - Primera ronda

   Pasar los grupos que en la primera fase resultaron positivos, a una primera ronda de análisis por tajadas.

   Para cada grupo de N individuos, tomar D submuestras de cada muestra correspondiente a un individuo, y mezclar ^N⁄_L submuestras en cada uno de T = D * L análisis. Asignar los individuos a los análisis de modo que a cada individuo le corresponda un conjunto de análisis distinto.

   Esto último se hace asignando a cada individuo una D-tupla de dígitos, cada uno de un valor tomado de entre L valores. La D-tupla corresponde a la coordenada de un punto en un hipercubo de D dimensiones, con L puntos en cada dirección. En cada análisis va una tajada del hipercubo, formada por los individuos que comparten una misma coordenada en determinada dirección.

   La D-tupla que identifica a un individuo se puede intrepretar también como un número en un sistema de numeración en base L. Cada uno de los L valores de cada uno de los D dígitos, corresponde a un análisis; de ahí que haya D * L análisis para los N individuos.

   Ahora, un ejemplo sencillo usando L = 10 (valor no óptimo). Supongamos que hay que analizar N = 100 individuos ya que se estima p = 0.0035. Numeramos los individuos del 0 al 99. D = 2 ya que 10² = 100. Luego hacemos D * L = 2 * 10 = 20 análisis,cada uno con ^N⁄_L = ¹⁰⁰⁄₁₀ = 10 submuestras. Hacemos corresponder cada análisis a un dígito: un análisis para el 0 de las unidades, otro para el 0 de las decenas, etc. En el análisis correspondiente al dígito 0 de las unidades, mezclamos las 10 submuestras de los individuos identificados con números terminados en 0, es decir 0, 10, 20,…, 90. En el análisis correspondiente al dígito 3 de las decenas, mezclamos las 10 submuestras de los individuos identificados con números que tienen 3 en esa posición: 30, 31,…, 39. Y así para los restantes dieciocho análisis. Si hay un individuo infectado, resultarán positivos los análisis que lo identifican; por ejemplo, si solamente resultan positivos los análisis correspondientes al 5 de las unidades y al 1 de las decenas, sabemos que el individuo identificado con el número 15 (y sólo él) está infectado. Los 20 análisis se pueden hacer a la vez. Ahorramos 80 anñalisis. Usando L = 3 —valor óptimo—, el ahorro es todavía mayor: bastan 15 análisis para identificar el individuo infectado.

3. Fase de análisis por tajadas - Pasos a seguir luego de la primera ronda

   Si sólo hay una tajada positiva en cada dirección, hay sólo un individuo infectado, que se identifica inmediatamente.

   Si sólo en una dirección hay más de una tajada positiva, se identifica inmediatamente a los individuos infectados.

   Si hay más de una dirección con más de una tajada positiva, se pasan a una segunda ronda de análisis los individuos identificados por tajadas que resultaron positivas. En el ejemplo de arriba, si los análisis correspondientes a los dígitos 2 y 7 de las unidades y 4, 6 y 9 de las decenas resultaron positivos —caso muy poco probable para la prevalencia estimada—, pueden estar infectados entre tres y seis de los individuos identificados con los números 42, 47, 62, 67, 92 y 97.

Esta página se hizo para poder preparar análisis por tajadas, e interpretar sus resultados, cuando se usan números naturales en el sistema decimal tanto para los análisis como para los individuos.

Más abajo el usuario puede ingresar el valor de p y obtener los valores óptimos de N, D y L, o bien ingresar el valor de una (o dos) de estas variables y obtener el resto.

En las pestañas de Preparación de análisis, se informa, para los valores ingresados, cuáles submuestras debe contener un análisis determinado, y en cuáles análisis deben ir submuestras de determinado individuo.

En la pestaña de Resultados, se informa, dados los resultados de los análisis, cuáles individuos están infectados o cuáles individuos pasan a una ronda adicional de análisis.