feat: gcd

Author: lucifer

thinkings/GCD.md

@@ -72,3 +72,124 @@ def GCD(a: int, b: int) -> int:
 ```
 
 上面的代码会报栈溢出。原因在于如果 a 和 b 相差比较大的话，递归次数会明显增加，要比辗转相除法递归深度增加很多，最坏时间复杂度为 O(max(a, b)))。这个时候我们可以将`辗转相除法`和`更相减损术`做一个结合，从而在各种情况都可以获得较好的性能。
+
+## 实例解析
+
+### 题目描述
+
+```
+给你三个数字 a，b，c，你需要找到第 n 个（n 从 0 开始）有序序列的值，这个有序序列是由 a，b，c 的整数倍构成的。
+
+比如：
+n = 8
+a = 2
+b = 5
+c = 7
+
+由于 2，5，7 构成的整数倍构成的有序序列为 [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, ...]，因此我们需要返回 12。
+
+注意：我们约定，有序序列的第一个永远是 1。
+```
+
+### 思路
+
+大家可以通过 [这个网站](https://binarysearch.com/problems/Divisible-Numbers "binary search") 在线验证。
+
+一个简单的思路是使用堆来做，唯一需要注意的是去重，我们可以使用一个哈希表来记录出现过的数字，以达到去重的目的。
+
+代码：
+
+```py
+ss Solution:
+    def solve(self, n, a, b, c):
+        seen = set()
+        h = [(a, a, 1), (b, b, 1), (c, c, 1)]
+        heapq.heapify(h)
+
+        while True:
+            cur, base, times = heapq.heappop(h)
+            if cur not in seen:
+                n -= 1
+                seen.add(cur)
+            if n == 0:
+                return cur
+            heapq.heappush(h, (base * (times + 1), base, times + 1))
+```
+
+对于此解法不理解的可先看下我之前写的 [几乎刷完了力扣所有的堆题，我发现了这些东西。。。（第二弹） ](https://lucifer.ren/blog/2021/01/19/heap-2/ "几乎刷完了力扣所有的堆题，我发现了这些东西。。。（第二弹） ")
+
+然而这种做法时间复杂度太高，有没有更好的做法呢？
+
+实际上，我们可对搜索空间进行二分。首先思考一个问题，如果给定一个数字 x，那么有序序列中小于等于 x 的值有几个。
+
+答案是 x // a + x // b + x // c 吗？
+
+> // 是地板除
+
+可惜不是的。比如 a = 2, b = 4, n = 4，答案显然不是 4 // 2 + 4 // 4 = 3，而是 2。这里出错的原因在于 4 被计算了两次，一次是 $2 * 2 = 4$，另一次是 $4 * 1 = 4$。
+
+为了解决这个问题，我们可以通过集合论的知识。
+
+一点点集合知识：
+
+- 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除，且是 a 的倍数的值构成的集合为 SA，集合大小为 A
+- 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除，且是 b 的倍数的值构成的集合为 SB，集合大小为 B
+- 如果把有序序列中小于等于 x 的可以被 x 整除，且是 c 的倍数的值构成的集合为 SC，集合大小为 C
+
+那么最终的答案就是 SA ，SB，SC 构成的大的集合（需要去重）的中的数字的个数，也就是：
+
+$$
+A + B + C - sizeof(SA \cap SB) - sizeof(SB \cap SC) - sizeof(SA \cap SC) + sizeof(SA \cap SB \cap SC)
+$$
+
+问题转化为 A 和 B 集合交集的个数如何求？
+
+> A 和 B，B 和 C， A 和 C ，甚至是 A，B，C 的交集求法都是一样的。
+
+实际上， SA 和 SB 的交集个数就是 x // lcm(A, B)，其中 lcm 为 A 和 B 的最小公倍数。而最小公倍数则可以通过最大公约数计算出来：
+
+```py
+def lcm(x, y):
+    return x * y // gcd(x, y)
+
+```
+
+接下来就是二分套路了，二分部分看不懂的建议看下我的[二分专题](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/91/binary-search.md "二分专题")。
+
+### 代码（Python3）
+
+```py
+class Solution:
+    def solve(self, n, a, b, c):
+        def gcd(x, y):
+            if y == 0:
+                return x
+            return gcd(y, x % y)
+
+        def lcm(x, y):
+            return x * y // gcd(x, y)
+
+        def possible(mid):
+            return (mid // a + mid // b + mid // c - mid // lcm(a, b) - mid // lcm(b, c) - mid // lcm(a, c) + mid // lcm(a, lcm(b, c))) >= n
+
+        l, r = 1, n * max(a, b, c)
+        while l <= r:
+            mid = (l + r) // 2
+            if possible(mid):
+                r = mid - 1
+            else:
+                l = mid + 1
+        return l
+
+```
+
+**复杂度分析**
+
+- 时间复杂度：$logn$。
+- 空间复杂度：gcd 和 lcm 的递归树深度，基本可忽略不计。
+
+## 总结
+
+通过这篇文章，我们不仅明白了最大公约数的**概念以及求法**。也形象化地感知到了最大公约数计算的**原理**。最大公约数和最小公倍数是两个相似的概念， 关于最大公约数和最小公倍数的题目在力扣中不算少，大家可以通过**数学标签**找到这些题。更多关于算法中的数学知识，可以参考这篇文章[刷算法题必备的数学考点汇总 ](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI4MzUxNjI3OA==&mid=2247485590&idx=1&sn=e3f13aa02fed4d4132146e193eb17cdb&chksm=eb88c48fdcff4d99b44d537459396589b8987f89a8c21085a945ca8d5e2b0b140c13aef81d91&token=1223087516&lang=zh_CN#rd "刷算法题必备的数学考点汇总 ")
+
+> 这篇文章的第二篇也马上要发布了。