Create 0887. 鸡蛋掉落.md

Author: itcharge

Solutions/0887. 鸡蛋掉落.md

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+# [0887. 鸡蛋掉落](https://leetcode.cn/problems/super-egg-drop/)
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+- 标签：数学、二分查找、动态规划
+- 难度：困难
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+## 题目大意
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+**描述**：给定一个整数 `k` 和整数 `n`，分别代表 `k` 枚鸡蛋和可以使用的一栋从第 `1` 层到第 `n` 层楼的建筑。
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+已知存在楼层 `f`，满足 `0 <= f <= n`，任何从高于 `f` 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 `f` 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会碎。
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+每次操作，你可以取一枚没有碎的鸡蛋并把它从任一楼层 `x` 扔下（满足 `1 <= x <= n`），如果鸡蛋碎了，就不能再次使用它。如果
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+**要求**：计算并返回要确定 `f` 确切值的最小操作次数是多少。
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+**说明**：
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+- $1 \le k \le 100$。
+- $1 \le n \le 10^4$。
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+**示例**：
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+```Python
+输入：k = 1, n = 2
+输入：2
+解释：鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，肯定能得出 f = 0。否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，肯定能得出 f = 1。如果它没碎，那么肯定能得出 f = 2。因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 f 是多少。
+```
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+## 解题思路
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+### 思路 1：动态规划（超时）
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+这道题目的题意不是很容易理解，我们先把题目简化一下，忽略一些限制条件，理解简单情况下的题意。然后再一步步增加限制条件，从而先弄明白这道题目的意思。
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+我们先忽略 `k` 个鸡蛋这个条件，假设有无限个鸡蛋。
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+现在有 `1` ~ `n` 一共 `n` 层楼。已知存在楼层 `f`，低于等于 `f` 层的楼层扔下去的鸡蛋都不会碎，高于 `f` 的楼层扔下去的鸡蛋都会碎。
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+当然这个楼层 `f` 的确切值题目没有给出，需要我们一次次去测试鸡蛋最高会在哪一层不会摔碎。
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+在每次操作中，我们可以选定一个楼层，将鸡蛋扔下去：
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+- 如果鸡蛋没摔碎，则可以继续选择其他楼层进行测试。
+- 如果鸡蛋摔碎了，则该鸡蛋无法继续测试。
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+现在题目要求：一共有 `n` 层楼，无限个鸡蛋，求出至少需要扔几次鸡蛋，才能保证无论 `f` 是多少层，都能将 `f` 找出来？
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+最简单且直观的想法：
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+1. 从第 `1` 楼开始扔鸡蛋。`1` 楼不碎，再去 `2` 楼扔。
+2. `2` 楼还不碎，就去 `3` 楼扔。
+3. …… 
+4. 直到鸡蛋碎了，也就找到了鸡蛋不会摔碎的最高层 `f`。
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+用这种方法，最坏情况下，鸡蛋在第 `n` 层也没摔碎。这种情况下我们总共试了 `n` 次才确定鸡蛋不会摔碎的最高楼层 `f`。
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+下面再来说一下比 `n` 次要少的情况。
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+如果我们可以通过二分查找的方法，先从 `1` ~ `n` 层的中间层开始扔鸡蛋。
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+- 如果鸡蛋碎了，则从第 `1` 层到中间层这个区间中去扔鸡蛋。
+- 如果鸡蛋没碎，则从中间层到第 `n` 层这个区间中去扔鸡蛋。
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+每次扔鸡蛋都从区间的中间层去扔，这样每次都能排除当前区间一半的答案，从而最终确定鸡蛋不会摔碎的最高楼层 `f`。。
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+通过这种二分查找的方法，可以优化到 $\log n$ 次就能确定鸡蛋不贵摔碎的最高楼层 `f`。
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+因为 $\log n \le n$，所以通过二分查找的方式，「至少」比线性查找的次数要少。
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+同样，我们还可以通过三分查找、五分查找等等方式减少次数。
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+这是不限制鸡蛋个数的情况下，现在在给定 `n` 层楼的基础上，再限制一下鸡蛋个数为 `k`。
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+现在题目要求：一共有 `n` 层楼，`k` 个鸡蛋，求出至少需要扔几次鸡蛋，才能保证无论 `f` 是多少层，都能将 `f` 找出来？
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+如果鸡蛋足够多（大于等于 $\log_2 n$ 个），可以通过二分查找的方法来测试。如果鸡蛋不够多，可能二分查找过程中，鸡蛋就用没了，则不能通过二分查找的方法来测试。
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+那么这时候为了找出 `f` ，我们应该如何求出最少的扔鸡蛋次数。
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+可以这样考虑。题目限定了 `n` 层楼，`k` 个鸡蛋。
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+如果我们尝试在 `1` ~ `n` 层中的任意一层 `x` 扔鸡蛋：
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+1. 如果鸡蛋没碎，则说明 `1` ~ `x` 层都不用再考虑了，我们需要用 `k` 个鸡蛋去考虑剩下的 `n - x` 层，问题就从 `(n, k)` 转变为了 `(n - x, k)`。
+2. 如果鸡蛋碎了，则说明 `x + 1` ~ `n` 层都不用再考虑了，我们需要去剩下的 `k - 1` 个鸡蛋考虑剩下的 `x - 1` 层，问题就从 `(n, k)` 转变为了 `(x - 1, k - 1)`。
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+这样一来，我们就可以根据上述关系使用动态规划方法来解决这道题目了。具体步骤如下：
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+###### 1. 划分阶段
+
+按照楼层数量、剩余鸡蛋个数进行阶段划分。
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+###### 2. 定义状态
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+定义状态 `dp[i][j]` 表示为：一共有 `i` 层楼，`j` 个鸡蛋的条件下，为了找出 `f` ，最坏情况下的最少扔鸡蛋次数。
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+###### 3. 状态转移方程
+
+根据之前的描述，`dp[i][j]` 有两个来源，其状态转移方程为：
+
+$dp[i][j] = min_{1 \le x \le n} (max(dp[i - x][j], dp[x - 1][j - 1])) + 1$ 
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+###### 4. 初始条件
+
+给定鸡蛋 `k` 的取值范围为 `[1, 100]`，`f` 值取值范围为 `[0, n]`，初始化时，可以考虑将所有值设置为当前拥有的楼层数。
+
+- 当鸡蛋数为 `1` 时，`dp[i][1] = i`。这是如果唯一的蛋碎了，则无法测试了。只能从低到高，一步步进行测试，最终最少测试数为当前拥有的楼层数。
+	- 如果刚开始初始化时已经将所有值设置为当前拥有的楼层数，则这一步可省略。
+- 当楼层为 `1` 时，在 `1` 层扔鸡蛋，`dp[1][j] = 1`。这是因为：
+	- 如果在 `1` 层扔鸡蛋碎了，则 `f < 1`。同时因为 `f` 的取值范围为 `[0, n]`。所以能确定 `f = 0`。
+	- 如果在 `1` 层扔鸡蛋没碎，则 `f >= 1`。同时因为 `f` 的取值范围为 `[0, n]`。所以能确定 `f = 0`。 
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+###### 5. 最终结果
+
+根据我们之前定义的状态，`dp[i][j]` 表示为：一共有 `i` 层楼，`j` 个鸡蛋的条件下，为了找出 `f` ，最坏情况下的最少扔鸡蛋次数。则最终结果为 `dp[n][k]`。
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+### 思路 1：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int:
+        dp = [[0 for _ in range(k + 1)] for i in range(n + 1)]
+        
+        for i in range(1, n + 1):
+            for j in range(1, k + 1):
+                dp[i][j] = i
+
+        # for i in range(1, n + 1):
+        #     dp[i][1] = i
+
+        for j in range(1, k + 1):
+            dp[1][j] = 1
+
+        for i in range(2, n + 1):
+            for j in range(2, k + 1):
+                for x in range(1, i + 1):
+                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[i - x][j], dp[x - 1][j - 1]) + 1)
+                
+        return dp[n][k]
+```
+
+### 思路 1：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(n^2 \times k)$。三重循环的时间复杂度为 $O(n^2 \times k)$。
+- **空间复杂度**：$O(n \times k)$。
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+### 思路 2：动态规划优化
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+上一步中时间复杂度为 $O(n^2 \times k)$。根据 $n$ 的规模，提交上去补出意外的超时了。
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+我们可以观察一下上面的状态转移方程 $dp[i][j] = min_{1 \le x \le n} (max(dp[i - x][j], dp[x - 1][j - 1])) + 1$ 。
+
+这里最外两层循环的 `i`、`j` 分别为状态的阶段，可以先将 `i`、`j` 看作固定值。最里层循环的 `x` 代表选择的任意一层 `x` ，值从 `1` 遍历到 `i`。
+
+此时我们把 `dp[i - x][j]` 和 `dp[x - 1][j - 1]` 分别单独来看。可以看出：
+
+- 对于 `dp[i - x][j]`：当 `x` 增加时，`i - x` 的值减少，`dp[i - x][j]` 的值跟着减小。自变量 `x` 与函数 `dp[i - x][j]` 是一条单调非递增函数。
+- 对于 `dp[x - 1][j - 1]`：当 `x` 增加时， `x - 1` 的值增加，`dp[x - 1][j - 1]` 的值跟着增加。自变量 `x` 与函数 `dp[x - 1][j - 1]` 是一条单调非递减函数。
+
+两条函数的交点处就是两个函数较大值的最小值位置。即 `dp[i][j]` 所取位置。而这个位置可以通过二分查找满足 `dp[x - 1][j - 1] >= dp[i - x][j]` 最大的那个 `x`。这样时间复杂度就从 $O(n^2 \times k)$ 优化到了 $O(n  \log n \times k)$。
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+### 思路 2：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int:
+        dp = [[0 for _ in range(k + 1)] for i in range(n + 1)]
+        
+        for i in range(1, n + 1):
+            for j in range(1, k + 1):
+                dp[i][j] = i
+
+        # for i in range(1, n + 1):
+        #     dp[i][1] = i
+
+        for j in range(1, k + 1):
+            dp[1][j] = 1
+
+        for i in range(2, n + 1):
+            for j in range(2, k + 1):
+                left, right = 1, i
+                while left < right:
+                    mid = left + (right - left) // 2
+                    if dp[mid - 1][j - 1] < dp[i - mid][j]:
+                        left = mid + 1
+                    else:
+                        right = mid
+                dp[i][j] = max(dp[left - 1][j - 1], dp[i - left][j]) + 1
+                    
+        return dp[n][k]
+```
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+### 思路 2：复杂度分析
+
+- **时间复杂度**：$O(n  \log n \times k)$。两重循环的时间复杂度为 $O(n \times k)$，二分查找的时间复杂度为 $O(\log n)$。
+- **空间复杂度**：$O(n \times k)$。
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+### 思路 3：动态规划 + 逆向思维
+
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+
+### 思路 3：代码
+
+```Python
+class Solution:
+    def superEggDrop(self, k: int, n: int) -> int:
+        dp = [[i for _ in range(k + 1)] for i in range(n + 1)]
+        dp[1][1] = 1
+
+        for i in range(1, n + 1):
+            for j in range(1, k + 1):
+                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1] + 1
+                if j == k and dp[i][j] >= n:
+                    return i
+        return n
+```
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+### 思路 3：复杂度分析
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+- **时间复杂度**：$O(n \times k)$。两重循环的时间复杂度为 $O(n \times k)$。
+- **空间复杂度**：$O(n \times k)$。
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+## 参考资料
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+- 【题解】[题目理解 + 基本解法 + 进阶解法 - 鸡蛋掉落 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/super-egg-drop/solution/ji-ben-dong-tai-gui-hua-jie-fa-by-labuladong/)
+- 【题解】[动态规划（只解释官方题解方法一）（Java） - 鸡蛋掉落 - 力扣](https://leetcode.cn/problems/super-egg-drop/solution/dong-tai-gui-hua-zhi-jie-shi-guan-fang-ti-jie-fang/)